[6591] 이항 쇼다운

https://www.acmicpc.net/problem/6591

정답이 int범위 안에 들어온다는 힌트가 주어진 Combination을 구하는 문제이다.

파스칼의 삼각형을이용한 DP로 접근을 하면 n = k = 2^(31)-1 인 경우도 있기 때문에 배열자체를 잡을 메모리가 부족하다. (DP배열을 벡터로 짜보면 될것같기도한데.. 해보진않음)

간단하게 정말 조합을 구하는 손으로 구하는것처럼 계산하면 overflow없이 계산할 수 있다. 

먼저 r>n/2인경우에 r=n-r로 바꿔준다. (∵ nCr = nC(n-r))

r>0인 경우만 생각해보면, n/2>=r 이고, r>0므로 (n-r+1) >= (r+1)/r > 1   을 만족한다.

따라서 (n-r+1)/r > 1 이고, nCr < 2^31 이므로 nC(r-1)*(n-r+1)/r = nCr < 2^31이 성립한다.

즉, nC(r-1) < 2^31을 만족하며, recursive하게 nCr < 2^31이 만족하게 된다. (∀r, s.t. 1<r<=n/2 )

따라서 귀납적으로 nC1 * (n-1)/2 * (n-2)/3 * ... * (n-r+1)/r = nC2 * (n-2)/3 * ... * (n-r+1)/r = ... = nCr  이므로 nC1부터 (n-1)/2, (n-2)/3, ... 을 차례대로 곱해도 overflow가 발생하지 않는다.

(티스토리 수식쓰는게 익숙치가 않아서 (latex짭퉁?같은데?) 나중에 보기좋게 편집해야겠어요)